Frage von muh: Was bedeutet diese mat. Form? (Mittelwertsatz))?
Es geht darum zu zeigen, dass die Gleichung stimmt…das Ergebnis will ich nicht wissen…
Gleichung:
http://img59.imageshack.us/img59/6752/diffu.jpg
@Andy
Die Aufgabenstellung sagt eindeutig, dass dies zu beweisen ist…und ich glaube schon, dass die Dozenten wissen, was sie uns aufgeben…ich bezweifle aber auch, dass das eine Matrix ist…ich kann mir nicht vorstellen, dass damit eine Matrix gemeint ist…
Beste Antwort:
Answer by Andy
Hallo muh!
Die Gleichung kann nicht stimmen!
Du kannst mit einem einfachen Gegenbeispiel diese Gleichung widerlegen. Wähle dazu eine einfache quadratische Funktion f, dessen Nullstellen bei a und b liegen. Fertig!
Bringt Dich das weiter? Vermutlich nicht…
Ich gehe mal davon aus, dass auf der linken Seite die Determinante einer 2×2 Matrix mit dem Bruch 1/(b-a) multipliziert wird. Nur damit keine Mißverständnisse aufkommen: Ich verwende die mathematischen Notationen von Wikipedia (Mittelwertsatz)
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung#Aussage_des_Mittelwertsatzes
Und nun zeige ich mal mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass diese Gleichung
1 / (b-a) * det (A) = f(x0) + x0*f’(x0)
NICHT allgemein gültig ist.
Sei dazu
f : [1,3] -> |R , definiert durch f(x):= -x² + 4x – 3 = – (x – 1)(x – 3)
So sieht sie aus
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-x%C2%B2+%2B+4x+-3
Eine einfache nach unten geöffnete Normalparabel
a = 1 und b = 3 sind die Nullstellen , x0 = 2 ist aus dem offenen Intervall (1,3)
f(a) = f(1) = 0 <-- a = 1 Nullstelle
f(b) = f(3) = 0 <-- b = 3 Nullstelle
f(x0) = f(2) = 1 <--- Scheitelpunkt (2 | 1)
f ist stetig auf [1,3], diff'bar auf (1,3)
Die Matrix A =
( b ........a )
( f(b)...f(a) ) =
(3 1)
(0 0)
Die Determinante dieser Matrix A ist = 0
det(A) = 3*0 - 1*0 = 0
Die Ableitung
f'(x) = -2x + 4
f'(x0) = f'(2) = -2*2 + 4 = 0
Und diese Informationen setzen wir nun in Deine gegebene Gleichung ein:
1 / (b-a) * det (A) = f(x0) + x0*f'(x0)
f'(x0) = f'(2) = -2*2 + 4 = 0 <--- Ableitung
f(x0) = f(2) = 1 ..................<--- Scheitelpunkt (2 | 1)
1 / (3 - 1) * det(A) = f(2) + 2*f'(2)
<=> 1/2 * 0 = 1 + 2*0
<=> 0 = 1 + 0
<=> 0 = 1 Widerspruch (zu 0 ≠ 1, <--allgemein gültige Aussage!)
Damit gilt (stimmt) n i c h t Deine Gleichung.
Gruß
Nachtrag:
@muh
Aha,
"...Die Aufgabenstellung sagt eindeutig, dass dies zu beweisen ist...und ich glaube schon, dass die Dozenten wissen, was sie uns aufgeben..."
(...ja, das glaube ich mit Dir mit: Das wissen sie und sie schreiben unmissverständlich (eindeutig) auf, was von den Studenten zu beweisen ist.)
Weißt Du, was ich mir nicht vorstellen kann? Dass Dein Dozent, Euch Studenten, eine Gleichung hinklatscht und Euch aufgibt: Beweist mal diese.
Was ich damit sagen will: Da fehlen einige Voraussetzungen, die Du nicht angegeben hast. Es stand wohl mit Sicherheit (vorab), so was wie:
Sei ....
f eine stetige, reelle Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] definiert und diff'bar auf dem offenen Intervall (a,b).
Sei ...
ξ1∈(a;b), sei..., sei..., sei...
Und nun die Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass es EIN ξ1∈(a;b) gibt, so dass gilt: ....
Das ist ein himmelweiter Unterschied zudem, was Du gefragt hattest.
"...Beweisen Sie die Gleichung (...Mittelwertsatz...)..."
Wenn Du die Aufgabenstellung Deines Profs aufgeschrieben hättest, dann wüsste ich auch, wie Deine Aufgabe aussieht. Und ich hätte Dir anders weitergeholfen.
"...das Ergebnis will ich nicht wissen..."
Was sollte eigentlich das denn bedeuten? Ach egal...
Deine geg. Gleichung gilt, wie Du gesehen hast, NICHT für ALLE ξ1∈(a;b). Beispiel ξ1 = 2 (Mittelwert)
f'(ξ1) = (f(b) - f(a))/(b - a) = f'(2) = (f(3) - f(1))/(3 - 1) = 0 (<-- Mittelwertsatz)
Dass es im offenen Intervall (a,b) mehrere Mittelwerte (einer stetig, diff'baren Funktion f) geben kann, für die, Deine geg. Gleichung erfüllt sein kann, bestreitet keiner.
Deine geg. Gleichung stimmt aber nicht für alle existierenden Mittelwerte!
ξ1 = 2 habe ich für dieses Gegenbeispiel mit Absicht gewählt.
Das war jetzt ein Hinweis, wie Du Deine Aufgabe (, so wie ich jetzt auch denke, sie gemeint ist,) lösen kannst.
Ansonsten, scanne mal die komplette Aufgabenstellung ein und nicht nur eine Gleichung, bei der Du Dir nicht einmal vorstellen kannst, dass dort eine 2x2 Matrix (bzw. ihre Determinante) steht!
Mann oh Mann..., wie soll man Dir bei dieser Aufgabe sonst weiterhelfen?
Gruß
Antworten Sie selbst in den Kommentaren!
- »Der Weg zum Tun ist zu sein«
